欧拉函数是积性函数证明

令 $S(n)$ 为 $1\sim n$ 中与 $n$ 互质的数组成的集合。

分别任取 $S(a),S(b)$ 中的元素 $a_0,b_0$.（ $\gcd(a,b)=1$ ）

考虑线性同余方程组 $\begin{cases} x\equiv a_0\pmod {a}\\ x\equiv b_0\pmod {b} \end{cases}$,

则有唯一解 $x\equiv c_0\pmod {ab}$.

$\gcd(c_0,a)=\gcd(c_0\bmod a.a)=\gcd(a_0,a)=1$. 同理可得，$\gcd(c_0,b)=1$.

故 $\gcd(c_0,ab)=1,c_0\in S(ab)$.

此为 $S(a)\times S(b)$ 到 $S(ab)$ 的一个单射。

任取 $S(ab)$ 中的元素 $c_0$，令 $a_0=c_0\bmod a,b_0=c_0\bmod b$.

由于 $\gcd(ab,c_0)=1$，故 $a_0\in S(a),b_0\in S(b)$.

此为 $S(ab)$ 到 $S(a)\times S(b)$ 的一个单射。

故 $S(a)\times S(b)$ 到 $S(ab)$ 存在一个双射。

因此 $|S(ab)|=|S(a)||S(b)|$，即 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$。

Q.E.D.